امتحان منتصف الفصل في الجبر الخطي، محلولًا بطريقة الدكتور Koçak

الأسابيع من 1 إلى 7 في حوالي 3 ساعات: ماذا يسأل، ما الخطوات التي يريد أن يراها، وما الأخطاء التي تُضيّع الدرجات.

−2R₁ + R₂ → R₂

−2R₁: اضرب الصف 1 في −2 (الصف 1 نفسه يبقى كما هو)
+ R₂: أضِف إليه الصف 2
→ R₂: اكتب الناتج مكان الصف 2

كل سؤال بـ 40 درجة في امتحانه هو سلسلة من أسطر مثل هذا السطر. اكتب كل سطر منها بهذا الشكل.

1شكل الامتحان

حوالي 5 دقائق

توجد في الملفات أربعة امتحانات سابقة للدكتور Koçak. كلها بالشكل نفسه. ورقة 2024–25 مكتوب عليها أن المدة 50 دقيقة.

2022–23المتجهات: cos θ، متى يكون الضرب النقطي (dot product) صفرًا، المسافة (20 درجة)حل نظام 3×3 بطريقة Gauss–Jordan (40)تحليل A = L·D·U لمصفوفة 4×4 (40)

ورقة أقدم، بدون سنةالمتجهات: الأجزاء الثلاثة نفسها (20)حل نظام 4×4 بالتحليل (Factorization) (30)x = A⁻¹b، مع إيجاد المعكوس بطريقة Gauss–Jordan (25)

2024–25المتجهات: cos θ، الضرب النقطي، المسافة، متجه الوحدة (unit vector) (20)حل نظام 3×3 بالتحليل (Factorization) (40)حل نظام 3×3 بطريقة المصفوفة المعكوسة (Inverse matrix) (40)

2025–26متجهان متعامدان (أوجد a)، الطولتحليل A = L·D·U لمصفوفة 3×3حذف Gauss، المعكوس بطريقة Gauss–Jordan، الحل باستخدام A = L·U

إذن: سؤال متجهات سهل بحوالي 20 درجة، ثم 80 درجة من ثلاث أدوات هي في الحقيقة عمليات الصفوف نفسها بأشكال مختلفة.

الحذف (Elimination) بطريقتي Gauss و Gauss–Jordan: القسمان 4 و 5
المصفوفة المعكوسة (Inverse matrix): القسمان 6 و 7
التحليل (Factorization) بصيغتي L·U و L·D·U: الأقسام من 8 إلى 11

ورقة المراجعة (review) لهذه السنة تسأل عن هذه المواضيع بالضبط، ولا شيء من "vector spaces and subspaces" (الفضاءات المتجهة والفضاءات الجزئية).

كيف تستغل الساعات الثلاثاقرأ كل مثال محلول والقلم في يدك، وأعِد حله على الورق قبل أن تفتح المثال التالي. ثم حُلّ "جرّب بنفسك"، وبعدها فقط افتح الحل. القراءة بدون كتابة لن تنفعك في الامتحان.

أستطيع حلّ هذا دون النظر

2طريقته: سبع قواعد

حوالي 5 دقائق

هذه القواعد مأخوذة مباشرة من طريقة كتابة سلايداته. التزم بها في كل سؤال.

استخدم الطريقة المذكورة في السؤال. الجواب الصحيح بطريقة أخرى هو الطريق المعروف لخسارة الـ 40 درجة.
- "Gauss elimination": حوّل المصفوفة الموسّعة (augmented matrix) إلى مثلثية عليا، ثم حُلّ من المعادلة السفلى صعودًا.
- "Gauss–Jordan": حوّل المصفوفة الموسّعة حتى تصل إلى مصفوفة الوحدة (identity matrix).
- "Inverse matrix": أوجد A⁻¹ من [A ⋮ I]، ثم X = A⁻¹·B.
- "Factorization": أوجد L و U، ثم حُلّ نظامين مثلثيين.
اكتب كل عملية صف بصيغته بجانب السهم: kR_i + R_j → R_j. الصف المكتوب بعد السهم هو الصف الذي يتغير. لا تكتب "R₂ − 2R₁" ولا "R₂ ← …".
صف الـ pivot لا يتغير أبدًا في العملية. تضربه، وتجمعه مع صف آخر، والصف الآخر فقط هو الذي يُعاد كتابته.
لا توجد قوانين مختصرة لمصفوفات 3×3. لا معكوس بالمحدِّد والمرافقات (determinant / cofactor)، ولا قاعدة Cramer. هو درّس طريقة [A ⋮ I] وهي التي يصحّح عليها.
اكتب "Step 1" و "Step 2" في طريقة المصفوفة المعكوسة وفي التحليل، كما في سلايداته.
أبقِ الكسور كسورًا مثل 4/5 و 12/5، ولا تستخدم الأعداد العشرية أبدًا. والجذور تبقى جذورًا: في سلايداته يترك 1/√30 كما هو.
اختم بسطر جواب واحد واضح: x = …, y = …, z = ….

الترتيب على الورقفي ورقة الامتحان اكتب المصفوفات من اليسار إلى اليمين والعملية فوق السهم، كما في السلايدات. في هذا الدليل هي مرتبة من الأعلى إلى الأسفل فقط لتناسب شاشة الهاتف. النص الأحمر هو ما يُكتب على السهم.

أستطيع حلّ هذا دون النظر

3المتجهات (Vectors)

حوالي 25 دقيقة

الأسبوع 1. هذه هي الـ 20 درجة السهلة. كل الامتحانات السابقة تسأل الأشياء نفسها، فاحفظ الأسطر الستة التالية عن ظهر قلب.

الضرب النقطي (Dot product)، وناتجه عددu·v = u₁v₁ + u₂v₂ + … + u_nv_n

المعيار (Norm)، ويسمى أيضًا الطول (length)‖u‖ = √(u₁² + u₂² + … + u_n²)

الزاوية بين متجهينCosθ = u·v / (‖u‖·‖v‖)

المسافة (Distance)d(u, v) = √((u₁−v₁)² + … + (u_n−v_n)²)اطرح أولًا، ثم ربّع، ثم اجمع، ثم خذ الجذر. هذه هي "2-norm"، وهي التي تستخدمها عندما يقول السؤال "distance" فقط.

متعامدان (Orthogonal / perpendicular)u·v = 0وهذا يعني Cosθ = 0 و θ = 90°.

متجه الوحدة (Unit vector)‖v‖ = 1 وإلا v̂ = v / ‖v‖القسمة على الطول تسمى normalizing. وهو يسمي v̂ بـ "the unique unit vector".

للمتجهين u = (2, −1, 2) و v = (1, 2, 2): أوجد Cosθ والمسافة، وتحقق هل u متجه وحدة.السؤال الأول المعتاد، بأرقام جديدة

أ) Cosθ

u·v = 2·1 + (−1)·2 + 2·2 = 2 − 2 + 4 = 4

‖u‖ = √(2² + (−1)² + 2²) = √9 = 3

‖v‖ = √(1² + 2² + 2²) = √9 = 3

Cosθ = u·v / (‖u‖·‖v‖) = 4 / (3·3) = 4/9

ب) المسافة (Distance)

d(u, v) = √((2−1)² + (−1−2)² + (2−2)²)

= √(1 + 9 + 0) = √10

ج) هل هو متجه وحدة (unit vector)؟

‖u‖ = 3 ≠ 1، إذن u ليس متجه وحدة

û = u / ‖u‖ = (2/3, −1/3, 2/3)

اكتب القانون أولًا، ثم الأرقام، ثم الناتج، كما في الأعلى. إذا لم تتبسّط الجذور فاتركها كما هي: Cosθ = 19 / (√26·√74) جواب نهائي مقبول.

u = (k, 2, −1) و v = (3, −4, 1) متعامدان. أوجد k.

متعامدان، إذن u·v = 0

3k + 2·(−4) + (−1)·1 = 0

3k − 9 = 0 ⟹ k = 3

مسافة p-norm

سلايداته تعرّف عائلة كاملة من المسافات. الذي يتغير هو الأس فقط.

مسافة p-normd(x, y) = (|x₁−y₁|^p + … + |x_n−y_n|^p)^1/p 1.norm: اجمع القيم المطلقة للفروق مباشرة (وتسمى Taxicab أو Manhattan). 2.norm: المسافة العادية المذكورة في الأعلى. 3.norm: كعّب القيم المطلقة للفروق، اجمعها، ثم خذ الجذر التكعيبي.

x = (3, 1) و y = (5, 2). أوجد المسافة بـ 1.norm وبـ 2.norm.مثال من سلايدات الدكتور

1.norm: d(x, y) = |3−5| + |1−2| = 2 + 1 = 3

2.norm: d(x, y) = √((3−5)² + (1−2)²) = √(4+1) = √5

v = (1, −3, 4, 2). أوجد v̂.مثال من سلايدات الدكتور

تحقق أولًا: هل v متجه وحدة؟

‖v‖ = √(1² + (−3)² + 4² + 2²) = √30 ≠ 1

v̂ = v / ‖v‖ = (1/√30, −3/√30, 4/√30, 2/√30)

فِخاخ

مربع العدد السالب موجب: (−3)² = 9.
الضرب النقطي قد يكون سالبًا. حافظ على إشارة السالب في Cosθ.
المسافة ليست ‖u‖ − ‖v‖. اطرح المتجهين أولًا.
إذا لم يكن المتجه متجه وحدة فلا تتوقف عند "لا". أعطِ v̂ دائمًا.
ورقة 2024–25 تقول "identity vector". المقصود هو unit vector (متجه الوحدة).
"When does the dot product give zero?" (متى يكون الضرب النقطي صفرًا؟) الجواب: عندما يكون المتجهان متعامدين (orthogonal)، لأن Cosθ = 0 عندها.

السلايدات تعرّف أيضًا الضرب الاتجاهي (cross product) للمتجهات في ℝ³ (محدِّد 3×3 صفه الأول i, j, k، وناتجه متجه عمودي على المتجهين، مع ‖u×v‖ = ‖u‖·‖v‖·Sinθ). لم يرد في أي امتحان سابق ولا في مراجعة هذه السنة، فهو آخر أولوياتك.

جرّب بنفسك

u = (1, 0, −2), v = (3, 4, 0)

أوجد Cosθ و d(u, v) و û، ومسافة 3.norm بين A = (1, 2) و B = (3, 5).

أظهر الحل الكامل

u·v = 3 + 0 + 0 = 3

‖u‖ = √(1+0+4) = √5, ‖v‖ = √(9+16+0) = 5

Cosθ = 3 / (5√5)

d(u, v) = √((−2)² + (−4)² + (−2)²) = √24 = 2√6

‖u‖ = √5 ≠ 1 ⟹ û = (1/√5, 0, −2/√5)

3.norm: (|1−3|³ + |2−5|³)^1/3 = (8 + 27)^1/3 = ∛35

أستطيع حلّ هذا دون النظر

4عمليات الصفوف بترميزه

حوالي 12 دقيقة

الأسبوعان 2 و 3. كل ما يأتي بعد هذا القسم مبني على ثلاث حركات. هو يسميها elementary row operations (عمليات الصفوف الأولية)، و R₁, R₂, R₃ هي الصفوف.

1. تبديل صفينR_i ↔ R_jفي سلايداته يرسمها هكذا: R_i → R_j.

2. ضرب صف في عدد لا يساوي صفرًاkR_i → R_iتُستخدم لجعل الـ pivot يساوي 1، مثل 1/4R₃ → R₃.

3. إضافة مضاعَف صف إلى صف آخرkR_i + R_j → R_jهذه هي العملية الأساسية. الصف i يُستخدم فقط، والصف j هو الذي يُعاد كتابته.

كيف تختار k

الـ pivot (العنصر المحوري) هو عنصر القطر الذي تعمل تحته (أو فوقه). لتحويل عنصر إلى 0:

k = − (العنصر المراد تصفيره) / (المحور في العمود نفسه)

ثم طبّق الشيء نفسه على كل عدد في الصف، بما في ذلك الجزء الذي بعد الخط المنقّط إن وُجد.

حوّل المصفوفة إلى مصفوفة مثلثية عليا (upper triangle matrix).من سلايد الأسبوع 3

24−249−3−2−37

−2R₁ + R₂ → R₂صفّر 4 الواقعة تحت الـ pivot (وهو 2): k = −4/2 = −2

24−2011−2−37

R₁ + R₃ → R₃صفّر −2 الواقعة تحت الـ pivot (وهو 2): k = −(−2)/2 = 1

24−2011015

−R₂ + R₃ → R₃صفّر 1 الواقعة تحت الـ pivot (وهو 1): k = −1/1 = −1

24−2011004

كل ما تحت القطر أصفار: هذه مصفوفة مثلثية عليا. والـ pivots هي 2, 1, 4.

أحيانًا يكتب تحت السهم أيضًا l₂₁ = 4. هذا مجرد اسم للعنصر الذي يُصفَّر: الصف 2، العمود 1، وقيمته 4. هو تسمية فقط وليس خطوة جديدة.

اعمل الحساب في الهامشمن أجل −2R₁ + R₂ اكتب السطر المساعد أولًا: −2·(2 4 −2) = (−4 −8 4)، ثم أضِف الصف 2 وهو (4 9 −3) لتحصل على (0 1 1). أغلب الدرجات الضائعة في هذه المادة سببها أخطاء الإشارات في هذا السطر بالذات.

مصطلحات يستخدمها

Upper triangle matrix (مثلثية عليا): كل العناصر تحت القطر تساوي 0. Lower triangle (مثلثية سفلى): كل العناصر فوق القطر تساوي 0.
Row echelon form (REF): الصفوف الصفرية في الأسفل، وأول عنصر غير صفري في كل صف يقع على يمين نظيره في الصف الذي فوقه. المصفوفة المثلثية العليا لها هذا الشكل المدرّج. تعريفه يشترط أيضًا أن يكون كل عنصر قائد (leading entry) مساويًا 1، لكنه في سلايد الأسبوع 5 يسمي المثلث ذا الـ pivots 2, 1, 4 أيضًا row echelon form.
Reduced row echelon form (RREF): العناصر القائدة تساوي 1 وهي وحيدة في أعمدتها. في نظام له حل واحد تكون هذه هي مصفوفة الوحدة.
Gauss elimination يتوقف عند المثلثية العليا. Gauss–Jordan يكمل حتى مصفوفة الوحدة.
Identity matrix I (مصفوفة الوحدة): 1 على القطر و 0 في باقي الأماكن. Transpose A^T (المنقول): الصفوف تصبح أعمدة. Symmetric (متماثلة): A^T = A. Trace (الأثر): مجموع عناصر القطر.

مصفوفة الحذف (Elimination matrix)

تحتاج هذه الفكرة مرة واحدة، في القسم 8. طبّق عملية صف واحدة على مصفوفة الوحدة فتحصل على مصفوفة الحذف E لتلك العملية. معكوسها هو المصفوفة نفسها مع عكس إشارة ذلك العدد الواحد.

العملية −2R₁ + R₂ → R₂

E =100−210001 E⁻¹ =100210001

المضاعِف −2 يقع في الصف 2، العمود 1، أي في المكان الذي صُنع فيه الصفر. وفي المعكوس يصبح +2.

أستطيع حلّ هذا دون النظر

5حذف Gauss و Gauss–Jordan

حوالي 30 دقيقة

الأسبوع 5. حل A·X = B بالحذف. جملته عنها: الفكرة الأساسية هي الحصول على مصفوفة مثلثية عليا أو مصفوفة وحدة من المصفوفة الموسّعة.

اكتب المصفوفة الموسّعة (augmented matrix) [A ⋮ B]: المعاملات، ثم خط منقّط، ثم الطرف الأيمن. المتغير غير الموجود معامله 0.
العمود 1: اصنع أصفارًا تحت الـ pivot الأول.
العمود 2: اصنع أصفارًا تحت الـ pivot الثاني. (في سلايده يصفّر العنصر الذي فوقه أيضًا في السهم نفسه.)
Gauss elimination ينتهي هنا. أعِد كتابة الصفوف كمعادلات وحُلّ من المعادلة السفلى صعودًا.
Gauss–Jordan يكمل: اجعل كل pivot يساوي 1 باستخدام kR_i → R_i، وصفّر ما بقي فوق الـ pivots، حتى يصبح الطرف الأيسر I. العمود الأخير هو الجواب.

حل النظام بطريقة الحذف (elimination method).من سلايد الأسبوع 5، بالعمليات نفسها وبالترتيب نفسه

2x + 4y − 2z = 2

4x + 9y − 3z = 8

−2x − 3y + 7z = 10

حذف Gauss (Gauss elimination)

24−2249−38−2−3710

−2R₁ + R₂ → R₂

24−220114−2−3710

R₁ + R₃ → R₃

24−22011401512

−4R₂ + R₁ → R₁−R₂ + R₃ → R₃العمود 2: يصفّر ما فوق الـ pivot (وهو 1) وما تحته في سهم واحد

20−6−1401140048

Row echelon form. اقرأ الصفوف كمعادلات، بدءًا من الأسفل:

4z = 8 ⟹ z = 2

y + z = 4 ⟹ y = 2

2x − 6z = −14 ⟹ x = −1

x = −1, y = 2, z = 2

لنكمل: Gauss–Jordan

20−6−1401140048

1/2R₁ → R₁1/4R₃ → R₃اجعل الـ pivots تساوي 1

10−3−701140012

−R₃ + R₂ → R₂3R₃ + R₁ → R₁العمود 3: صفّر ما فوق الـ pivot

100−101020012

Reduced row echelon form. الطرف الأيسر هو I، إذن العمود الأخير هو الحل.

x = −1, y = 2, z = 2

النصفان هما حساب واحد متصل. إذا قال السؤال Gauss–Jordan فاكتبه كله ولا تستخدم التعويض الخلفي (back-substitution).

فِخاخ

العملية تُطبَّق على الصف كله، بما فيه العدد الذي بعد الخط المنقّط.
"Gauss–Jordan" مع مثلث ثم تعويض خلفي في النهاية هو Gauss وليس Gauss–Jordan. صِل إلى مصفوفة الوحدة.
إذا كانت هناك عمليتان على سهم واحد، فكلتاهما تستخدمان الصفوف كما كانت قبل السهم.
تحقق في النهاية: عوّض x, y, z في إحدى المعادلات الأصلية. يأخذ ذلك عشر ثوانٍ.

جرّب بنفسك: حُلّ بطريقة Gauss–Jordan

x + 2y − z = 2

2x + 5y + z = 15

−x + y + 2z = 7

أظهر الحل الكامل

12−1225115−1127

−2R₁ + R₂ → R₂R₁ + R₃ → R₃

12−12013110319

−2R₂ + R₁ → R₁−3R₂ + R₃ → R₃

10−7−200131100−8−24

−1/8R₃ → R₃

10−7−20013110013

−3R₃ + R₂ → R₂7R₃ + R₁ → R₁

100101020013

x = 1, y = 2, z = 3

التحقق في المعادلة 2: 2·1 + 5·2 + 3 = 15.

أستطيع حلّ هذا دون النظر

6معكوس المصفوفة (Inverse)

حوالي 25 دقيقة

الأسبوع 4. A⁻¹ هي المصفوفة التي تحقق A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I. للمصفوفة معكوس واحد على الأكثر.

ثلاث معلومات سريعة من ملاحظاته

قانون 2×2

A =abcd⟹ A⁻¹ = 1/(ad − bc) ·d−b−ca

بدّل a و d، غيّر إشارتي b و c، واقسم على ad − bc. المعكوس موجود فقط إذا كان ad − bc ≠ 0. هذا القانون لمصفوفات 2×2 فقط.

المصفوفة القطرية (Diagonal matrix)اقلب كل عنصر على القطر: القطر 8, 7 يعطي القطر 1/8, 1/7.

حاصل الضرب(AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹الترتيب ينعكس.

مثال من السلايدات: أوجد المعكوس.

A =2−143ad − bc = 2·3 − (−1)·4 = 10

A⁻¹ = 1/10 ·31−42=3/101/10−2/51/5

الطريقة التي يصحّح عليها: [A ⋮ I] → [I ⋮ A⁻¹]

اكتب A، ثم خطًّا منقّطًا، ثم مصفوفة الوحدة بجانبها. هذه هي المصفوفة الموسّعة [A ⋮ I].
طبّق عليها Gauss–Jordan. كل عملية تُطبَّق على الأعداد الستة كلها في الصف.
عندما يصبح النصف الأيسر I، يكون النصف الأيمن هو A⁻¹. اكتبه منفصلًا كجواب.

أوجد A⁻¹ بطريقة Gauss elimination.سلايد الأسبوع 4 يعطي هذه المصفوفة بدون حل. حُلّت هنا بعملياته.

A =121−1−11013

121100−1−11010013001

R₁ + R₂ → R₂العمود 1: فقط −1 تحتاج إلى تصفير

121100012110013001

−2R₂ + R₁ → R₁−R₂ + R₃ → R₃العمود 2: فوق الـ pivot وتحته

10−3−1−20012110001−1−11

−2R₃ + R₂ → R₂3R₃ + R₁ → R₁العمود 3: فوق الـ pivot

100−4−5301033−2001−1−11

A⁻¹ =−4−5333−2−1−11

تحقق في 30 ثانيةاضرب الصف الأول من A في أعمدة A⁻¹. يجب أن تحصل على 1, 0, 0. هنا: (1)(−4) + (2)(3) + (1)(−1) = 1، ثم (1)(−5) + (2)(3) + (1)(−1) = 0، ثم (1)(3) + (2)(−2) + (1)(1) = 0.

إذا لم يكن الـ pivot مساويًا 1، فاقسم ذلك الصف في النهاية، كما يفعل في الأسبوع 6 باستخدام 1/5R₂ → R₂. وجود كسور في الجواب أمر طبيعي: معكوسات مراجعة هذه السنة مقاماتها مثل 7 و 16.

فِخاخ

نسيان النصف الأيمن. كل عملية تغيّر ستة أعداد لا ثلاثة.
التوقف عند المثلث. النصف الأيسر يجب أن يكون I تمامًا، مع 1 على القطر.
استخدام طريقة المرافقات (cofactor) أو المحدِّد (determinant) لمصفوفة 3×3. هذه ليست طريقته.

جرّب بنفسك: أوجد المعكوس

A =101213113

أظهر الحل الكامل

101100213010113001

−2R₁ + R₂ → R₂−R₁ + R₃ → R₃

101100011−210012−101

−R₂ + R₃ → R₃

101100011−2100011−11

−R₃ + R₂ → R₂−R₃ + R₁ → R₁

10001−1010−32−10011−11

A⁻¹ =01−1−32−11−11

أستطيع حلّ هذا دون النظر

7حل نظام بالمصفوفة المعكوسة

حوالي 15 دقيقة

الأسبوع 6. كان عليه 40 درجة في ورقة 2024–25.

A·X = B ⟹ A⁻¹·A·X = A⁻¹·B ⟹ X = A⁻¹·B

الخطوة 1 (Step 1). اكتب A (مصفوفة المعاملات) وأوجد A⁻¹ باستخدام [A ⋮ I]، تمامًا كما في القسم 6.
الخطوة 2 (Step 2). اضرب: X = A⁻¹·B. كل جواب هو صف واحد من A⁻¹ مضروبًا في العمود B.

حل النظام بالمصفوفة المعكوسة (inverse matrix).من سلايد الأسبوع 6

x − 2y = 10

2x + y = 8

الخطوة 1 (Step 1)

A =1−221⟹ A⁻¹ = ?

1−2102101

−2R₁ + R₂ → R₂

1−21005−21

1/5R₂ → R₂

1−21001−2/51/5

2R₂ + R₁ → R₁

101/52/501−2/51/5

A⁻¹ =1/52/5−2/51/5

الخطوة 2 (Step 2)

X = A⁻¹·B ⟹xy=1/52/5−2/51/5108

x = (1/5)(10) + (2/5)(8) = 10/5 + 16/5 = 26/5

y = (−2/5)(10) + (1/5)(8) = −20/5 + 8/5 = −12/5

x = 26/5, y = −12/5

حل النظام بالمصفوفة المعكوسة (inverse matrix).نسخة 3×3

x + 2y + z = 3

−x − y + z = 2

y + 3z = 8

الخطوة 1 (Step 1)

A =121−1−11013⟹A⁻¹ =−4−5333−2−1−11

هذه هي المصفوفة من القسم 6. في الامتحان تُكتب هنا خطوات [A ⋮ I] كاملة.

الخطوة 2 (Step 2)

X = A⁻¹·B =−4−5333−2−1−11328

x = (−4)(3) + (−5)(2) + (3)(8) = −12 − 10 + 24 = 2

y = (3)(3) + (3)(2) + (−2)(8) = 9 + 6 − 16 = −1

z = (−1)(3) + (−1)(2) + (1)(8) = −3 − 2 + 8 = 3

x = 2, y = −1, z = 3

فِخاخ

الترتيب مهم: هو A⁻¹·B، وليس B·A⁻¹ أبدًا.
لا تحل النظام هنا بـ Gauss–Jordan على [A ⋮ B]. السؤال يريد إظهار المعكوس ثم الضرب.
عندما يعطيك الامتحان النظام جاهزًا بصيغة مصفوفة · عمود = عمود، تكون A هي تلك المصفوفة و B هو العمود في الطرف الأيمن.

جرّب بنفسك: حُلّ بالمصفوفة المعكوسة

x + 2y + z = 6

−x − y + z = −5

y + z = 2

هذا السؤال موجود في سلايد الأسبوع 6 بدون حل.

أظهر الحل الكامل

الخطوة 1 (Step 1)

121100−1−11010011001

R₁ + R₂ → R₂

121100012110011001

−2R₂ + R₁ → R₁−R₂ + R₃ → R₃

10−3−1−2001211000−1−1−11

−R₃ → R₃

10−3−1−2001211000111−1

−2R₃ + R₂ → R₂3R₃ + R₁ → R₁

10021−3010−1−1200111−1

A⁻¹ =21−3−1−1211−1

الخطوة 2 (Step 2)

X = A⁻¹·B =21−3−1−1211−16−52

x = 12 − 5 − 6 = 1

y = −6 + 5 + 4 = 3

z = 6 − 5 − 2 = −1

x = 1, y = 3, z = −1

أستطيع حلّ هذا دون النظر

8التحليل (Factorization): A = L·U

حوالي 20 دقيقة

سلايدات الأسبوع 7 (عنوان الملف "Hafta 7"). التحليل (Factorization) معناه كتابة A كحاصل ضرب مصفوفتين مثلثيتين:

A = L·U

U هي المثلثية العليا التي تحصل عليها من الحذف.
L هي مثلثية سفلى على قطرها 1. وتحت القطر تُخزَّن المضاعِفات التي استخدمتها مع عكس الإشارة.

الـ "easy way" أي الطريقة السهلة (هو من سمّاها هكذا)

احذف في A حتى تصل إلى مثلثية عليا باستخدام kR_i + R_j → R_j فقط، وبالاتجاه نحو الأسفل. بدون ضرب الصفوف في أعداد، وبدون تصفير ما فوق الـ pivots، وبدون الطرف الأيمن. الناتج هو U.
ابدأ L كمصفوفة الوحدة. ولكل عملية kR_i + R_j → R_j ضع −k في الصف j، العمود i من L.
اكتب A = L·U مع المصفوفتين.

A = L·U = ? (أوجد التحليل)من سلايد الأسبوع 7، المثال المعنون EASY WAY

A =1232673910

1232673910

−2R₁ + R₂ → R₂−3R₁ + R₃ → R₃

123021031

−3/2R₂ + R₃ → R₃

12302100−1/2

= U

المضاعِفات المستخدمة: −2, −3, −3/2. اعكس إشاراتها وضعها في أماكن الأصفار التي صُنعت:

L =10021033/21

A =1232673910=10021033/2112302100−1/2

عكس الإشارة، في ثلاثة أمثلة −2R₁ + R₂ → R₂ تضع +2 في الصف 2، العمود 1 من L R₁ + R₃ → R₃ تضع −1 في الصف 3، العمود 1 4/5R₂ + R₃ → R₃ تضع −4/5 في الصف 3، العمود 2 إذا لم يحتج موضعٌ إلى عملية لأنه كان 0 أصلًا، فمكانه في L يساوي 0.

لماذا تنجح: الطريقة الطويلة

هو يشرح هذه أولًا، فتعرّف عليها. كل عملية هي مصفوفة حذف (القسم 4). تطبيقها واحدة بعد الأخرى يعطي U، ونقلها إلى الطرف الآخر يعكسها، ومن هنا يأتي عكس الإشارة.

A = L·U = ?من سلايد الأسبوع 7. قيم L و U المطبوعة في السلايد فيها أخطاء طباعة، وهذه هي الصحيحة.

A =1232−14−121

الخطوة 1 (Step 1)

1232−14−121

−2R₁ + R₂ → R₂R₁ + R₃ → R₃E₁ و E₂

1230−5−2044

4/5R₂ + R₃ → R₃E₃

1230−5−20012/5

= U

E₁ =100−210001E₂ =100010101E₃ =10001004/51

معكوساتها: اعكس إشارة المضاعِف الوحيد.

E₁⁻¹ =100210001E₂⁻¹ =100010−101E₃⁻¹ =1000100−4/51

الخطوة 2 (Step 2)

E₃·E₂·E₁·A = U

A = (E₁⁻¹·E₂⁻¹·E₃⁻¹)·U ⟹ A = L·U

A =100210−1−4/511230−5−20012/5= L·U

تحقق قبل أن تكملاضرب الصف 2 من L في U، والصف 3 من L في U. يجب أن تحصل على الصفين 2 و 3 من A. إن لم تحصل عليهما فهناك إشارة خاطئة في L.

فِخاخ

وضع المضاعِف في L بدون عكس إشارته. هذا هو الخطأ رقم واحد.
قسمة صف من U لجعل الـ pivot يساوي 1. في L·U تبقى الـ pivots كما هي (2, −5, 12/5 …).
العمل على المصفوفة الموسّعة. حلّل A وحدها، و B تأتي لاحقًا.

جرّب بنفسك: A = L·U

A =211433−214

أظهر الحل الكامل

211433−214

−2R₁ + R₂ → R₂R₁ + R₃ → R₃

211011025

−2R₂ + R₃ → R₃

211011003

= U

L =100210−121

A =100210−121211011003

أستطيع حلّ هذا دون النظر

9حل نظام بالتحليل (Factorization)

حوالي 20 دقيقة

الأسبوع 7. في أوراق الامتحان يأتي بصيغة "find the solution by using factorization"، وعليه من 30 إلى 40 درجة.

الخطوة 1 (Step 1). حلّل مصفوفة المعاملات: A = L·U، تمامًا كما في القسم 8.
الخطوة 2 (Step 2). اكتب A·X = B ⟹ L·U·X = B. وأعطِ حاصل الضرب U·X اسمًا: العمود (a, b, c).
حُلّ L·(a, b, c) = B من الصف العلوي نزولًا. الصف الأول يعطيك a مباشرة.
حُلّ U·X = (a, b, c) من الصف السفلي صعودًا. الصف الأخير يعطيك z مباشرة.

حل النظام بالتحليل (factorization).من سلايد الأسبوع 7. تسميات العمليات وأحد صفوف U مكتوبة خطأً في السلايد. الأرقام هنا هي الصحيحة وتعطي جوابه النهائي.

2x + 2y + 2z = 12

4x + 7y + 7z = 24

6x + 18y + 22z = 12

الخطوة 1 (Step 1)

22247761822

−2R₁ + R₂ → R₂−3R₁ + R₃ → R₃

22203301216

−4R₂ + R₃ → R₃

222033004

= U

L =100210341

الخطوة 2 (Step 2)

A·X = B ⟹ L·U·X = B

100210341222033004xyz=122412

سمِّ U·X العمود (a, b, c). حُلّ أولًا L·(a, b, c) = B:

100210341abc=122412

a = 12

2a + b = 24 ⟹ 24 + b = 24 ⟹ b = 0

3a + 4b + c = 12 ⟹ 36 + 0 + c = 12 ⟹ c = −24

ثم حُلّ U·X = (a, b, c):

222033004xyz=120−24

4z = −24 ⟹ z = −6

3y + 3z = 0 ⟹ 3y − 18 = 0 ⟹ y = 6

2x + 2y + 2z = 12 ⟹ 2x + 12 − 12 = 12 ⟹ x = 6

x = 6, y = 6, z = −6

نظام 4×4

ورقة أقدم أعطت هنا نظام 4×4 بـ 30 درجة، وفي سلايده واحد أيضًا. لا جديد فيه، فقط العمل أكثر:

ست عمليات حذف، بهذا الترتيب: العمود 1 (الصفوف 2 و 3 و 4)، ثم العمود 2 (الصفان 3 و 4)، ثم العمود 3 (الصف 4).
L تأخذ ستة أعداد تحت القطر.
العمود المساعد هو (a, b, c, d)، ثم تحل المجاهيل الأربعة من الأسفل.

فِخاخ

الحل بـ Gauss elimination على [A ⋮ B] دون كتابة L أبدًا. سيكون الجواب صحيحًا والطريقة خاطئة.
استخدام B في النظام المثلثي الثاني. الطرف الأيمن لـ U·X هو (a, b, c) وليس B.
من الأعلى للأسفل مع L، ومن الأسفل للأعلى مع U. الخلط بينهما يجعل الحل يبدو مستحيلًا.

جرّب بنفسك: حُلّ بالتحليل (factorization)

2x + y + z = 3

4x + 3y + 3z = 7

−2x + y + 4z = −4

المصفوفة نفسها في "جرّب بنفسك" بالقسم 8، إذن الخطوة 1 جاهزة.

أظهر الحل الكامل

الخطوة 1 (Step 1)

L =100210−121U =211011003

الخطوة 2 (Step 2)

100210−121abc=37−4

a = 3

2a + b = 7 ⟹ b = 1

−a + 2b + c = −4 ⟹ −3 + 2 + c = −4 ⟹ c = −3

211011003xyz=31−3

3z = −3 ⟹ z = −1

y + z = 1 ⟹ y = 2

2x + y + z = 3 ⟹ 2x + 1 = 3 ⟹ x = 1

x = 1, y = 2, z = −1

أستطيع حلّ هذا دون النظر

10التحليل: A = L·D·U

حوالي 10 دقائق

غير موجود في السلايدات المتوفرةA = L·D·U مطلوب في مراجعة هذه السنة (السؤال 9)، وكان بـ 40 درجة في ورقة 2022–23، وورد في ورقة 2025–26، لكن لا يوجد في الملفات المتوفرة أي سلايد يحل مثالًا عليه. ما يلي هو الطريقة القياسية. النتيجة لا يمكن أن تختلف عن نتيجته، لأن للمصفوفة ثلاثية L, D, U واحدة فقط من هذا النوع. الذي قد يختلف هو فقط طريقة ترتيبه للخطوات على الورق.

L·D·U هو L·U مع خطوة إضافية: تُسحب الـ pivots من U إلى مصفوفة قطرية D.

أوجد A = L·U كما في القسم 8. المصفوفة L جاهزة ولا تتغير.
D هي المصفوفة القطرية المكوّنة من pivots المصفوفة U (أي عناصر قطرها).
U الجديدة: اقسم كل صف من U القديمة على الـ pivot الخاص به. فيصبح قطرها 1, 1, 1.
اكتب A = L·D·U مع المصفوفات الثلاث.

A = L·D·U = ?مصفوفة EASY WAY من سلايده، تكملة

A =1232673910

من القسم 8:

L =10021033/21U =12302100−1/2

الـ pivots في U هي 1, 2, −1/2. الصف 2 مقسوم على 2، والصف 3 مقسوم على −1/2:

D =10002000−1/2U =123011/2001

A =10021033/2110002000−1/2123011/2001= L·D·U

فِخاخ

القسمة على pivot سالب أو كسري: −1/2 مقسومة على −1/2 تساوي 1، و 1 مقسومة على 2 تساوي 1/2. تمهّل.
L و U الجديدة كلتاهما على قطرهما 1. و D كلها أصفار ما عدا القطر.
عندما يقول السؤال "A = LU and A = LDU" اكتب النتيجتين.

جرّب بنفسك: A = L·D·U

A =211433−214

أوجدتَ L و U في القسم 8.

أظهر الحل الكامل

L =100210−121U =211011003

D =200010003U الجديدة =11/21/2011001

A =100210−12120001000311/21/2011001

أستطيع حلّ هذا دون النظر

11عندما يكون الـ pivot صفرًا

حوالي 5 دقائق

غير موجود في السلايدات المتوفرةهذا يأتي فعلًا: السؤال 9b في مراجعة هذه السنة يبدأ بـ 0، وفي ورقة 2024–25 كانت المعادلة الأولى في سؤال التحليل بدون x. لا يوجد في الملفات المتوفرة أي سلايد يبيّن ماذا يكتب في هذه الحالة. ما يلي هو الحل القياسي، مبني فقط على عملية الصف رقم 1 عنده.

لا يمكنك استخدام 0 كـ pivot، لأن k = −entry/pivot ستصبح قسمة على صفر. لذلك بدّل الصفوف أولًا، ثم حلّل المصفوفة بعد إعادة ترتيبها كالمعتاد.

بدّل الصف الذي فيه 0 مع صف أسفل منه فيه عدد غير صفري في ذلك العمود: R_i ↔ R_j. إن كان لك الخيار، فاختر التبديل الذي يترك 0 تحت الـ pivot، فهو يوفّر عليك عملية.
حلّل المصفوفة الجديدة إلى L·U (ومعها D إن طُلبت).
في نظام المعادلات هذا مجرد كتابة المعادلات بترتيب مختلف، لذلك بدّل العناصر نفسها في B.
اذكر ذلك كتابةً على الورقة: "after R₁ ↔ R₂, A = L·U".

A = L·U = ?مثال جديد

012121257

R₁ ↔ R₂موضع الـ pivot فيه 0، فارفع صفًّا يبدأ بعدد غير صفري

121012257

−2R₁ + R₃ → R₃الصف 2 فيه 0 أصلًا في العمود 1: لا عملية، إذن L تأخذ 0 هناك

121012015

−R₂ + R₃ → R₃

121012003

= U

L =100010211

L·U يعطي المصفوفة بعد التبديل، وليس A الأصلية.

الشيء نفسه قد يحدث في Gauss–Jordan أو في [A ⋮ I]: إذا كان موضع الـ pivot فيه 0، بدّل مع صف أسفل منه وأكمل.

أستطيع حلّ هذا دون النظر

12ملخص، أخطاء السلايدات، قاعة الامتحان

حوالي 8 دقائق

ملخص في شاشة واحدة

المتجهات (Vectors) u·v = u₁v₁ + … + u_nv_n ‖u‖ = √(u₁² + … + u_n²) Cosθ = u·v / (‖u‖·‖v‖) d(u, v) = √((u₁−v₁)² + … ) متعامدان ⟺ u·v = 0 û = u/‖u‖

عملية الصف (Row operation)kR_i + R_j → R_jk = −entry/pivot. الصف j يتغير، والصف i لا يتغير.

Gauss[A ⋮ B] إلى مثلثية عليا، ثم المعادلات من الأسفل إلى الأعلى.

Gauss–Jordan[A ⋮ B] إلى [I ⋮ solution].

المعكوس (Inverse)[A ⋮ I] إلى [I ⋮ A⁻¹]. ولمصفوفات 2×2 فقط: 1/(ad − bc) مضروبًا في (d, −b; −c, a).

طريقة المصفوفة المعكوسةالخطوة 1: A⁻¹. الخطوة 2: X = A⁻¹·B.

L·Uاحذف نحو الأسفل لتحصل على U. و L هي مصفوفة الوحدة مع المضاعِفات بعد عكس إشاراتها.

الحل بالتحليل (factorization)الخطوة 1: L و U. الخطوة 2: L·(a, b, c) = B من الأعلى، ثم U·X = (a, b, c) من الأسفل.

L·D·UD هي pivots المصفوفة U. و U الجديدة هي كل صف من U مقسومًا على الـ pivot الخاص به.

الـ pivot يساوي صفرًابدّل الصفوف أولًا (وكذلك العناصر نفسها في B).

أخطاء في السلايدات

إذا فتحت ملفات PDF ووجدت شيئًا لا يطابق هذا الدليل، فالأرجح أنه واحد من هذه. هي أخطاء طباعة في السلايدات، تم التحقق منها بإعادة حساب كل مثال.

الأسبوع 1، مثال Cosθ: المتجهان مطبوعان كلاهما (1, 3)، لكن الناتج 6/10 يخص u = (1, 3) و v = (3, 1).
الأسبوع 4، معكوس مصفوفة الحذف: المصفوفات مطبوعة بـ 0 على القطر حيث يجب أن يكون 1، والمعكوس الثاني تكرار للأول.
الأسبوع 5، Gauss–Jordan: الصف (1 0 −3 7) يجب أن يكون (1 0 −3 −7).
الأسبوع 7، المثال الأول على L·U: L النهائية ينقصها −1 و U النهائية فيها 2 زائدة. الصحيحتان في القسم 8.
الأسبوع 7، المثال الثاني على L·U (الذي قبل EASY WAY): الجواب المطبوع منسوخ من المثال الأول وغير صحيح لتلك المصفوفة.
الأسبوع 7، مثال النظام: تسميات العمليات الثلاث مكتوبة خطأً، والصف الأول من U مطبوع 1 2 2 بدل 2 2 2.
الأسبوع 7، نظام 4×4: المعادلة الثانية في السلايد هي −x − 3y − z − 4t = 0، وهي تعطي جوابه المطبوع (28, −6, −2, −2). ورقة المراجعة الأقدم تكتب +3x₂ وهذا خطأ طباعة.

في قاعة الامتحان

ابدأ بسؤال المتجهات. هو سريع ويهدّئك.
قبل كل سؤال بـ 40 درجة، ضع خطًّا تحت كلمة الطريقة في السؤال.
انسخ المصفوفة بعناية. إشارة واحدة خاطئة في السطر الأول تُفسد كل ما بعدها.
اترك دقيقتين للتحقق: عوّض قيم x, y, z التي وجدتها في إحدى المعادلات الأصلية.

أستطيع حلّ هذا دون النظر

1شكل الامتحان

2طريقته: سبع قواعد

3المتجهات (Vectors)

مسافة p-norm

4عمليات الصفوف بترميزه

كيف تختار k

مصطلحات يستخدمها

مصفوفة الحذف (Elimination matrix)

5حذف Gauss و Gauss–Jordan

6معكوس المصفوفة (Inverse)

ثلاث معلومات سريعة من ملاحظاته

الطريقة التي يصحّح عليها: [A ⋮ I] → [I ⋮ A−1]

7حل نظام بالمصفوفة المعكوسة

8التحليل (Factorization): A = L·U

الـ "easy way" أي الطريقة السهلة (هو من سمّاها هكذا)

لماذا تنجح: الطريقة الطويلة

9حل نظام بالتحليل (Factorization)

نظام 4×4

10التحليل: A = L·D·U

11عندما يكون الـ pivot صفرًا

12ملخص، أخطاء السلايدات، قاعة الامتحان

ملخص في شاشة واحدة

أخطاء في السلايدات

في قاعة الامتحان

الطريقة التي يصحّح عليها: [A ⋮ I] → [I ⋮ A⁻¹]